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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

a- $\mathit{\Delta }>\mathit{O}$ et $\mathit{\epsilon }>1$ :(amortissement élevé)

$$\mathit{\alpha }=-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_0\pm {\mathit{\omega }}_{0.}\sqrt{\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)}$$ soit: ${\mathit{Y}}_1={\mathit{A}}_{1.}{\mathit{e}}^{-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\mathit{t}}.{\mathit{e}}^{{\mathit{\omega }}_{0.}\sqrt{\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)}.\mathit{t}}$   et${\mathit{Y}}_2={\mathit{A}}_{2.}{\mathit{e}}^{-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\mathit{t}}.{\mathit{e}}^{-{\mathit{\omega }}_{0.}\sqrt{\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)}.\mathit{t}}$ et $\mathit{Y}={\mathit{Y}}_1+{\mathit{Y}}_2$ $$\mathit{Y}={\mathit{e}}^{-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\mathit{t}}.({\mathit{A}}_{1.}{\mathit{e}}^{{\mathit{\omega }}_{0.}\sqrt{\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)}.\mathit{t}}$$ $$+{\mathit{A}}_{2.}.{\mathit{e}}^{-{\mathit{\omega }}_{0.}\sqrt{\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)}.\mathit{t}})$$ Le mouvement est dit "apériodique"

b- $\mathit{\Delta }=\mathit{O}$ et $\mathit{\epsilon }=1$ :(amortissement critique)

Dans ce cas, on montre que:  $\mathit{Y}={\mathit{e}}^{-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\mathit{t}}.\left({\mathit{B}}_{1.}\mathit{t}+{\mathit{B}}_2\right)$

et que les allures des courbes de Y en fonction du temps sont identiques à celles obtenues pour un mouvement apériodique

c- et :(amortissement faible)

$$\mathit{\alpha }=-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_0\pm \mathit{i}.{\mathit{\omega }}_{0.}\sqrt{\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)}$$ $$=-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_0\pm \mathit{i}.{\mathit{\Omega }}_0$$ ${\mathit{\Omega }}_0$ est appelé la pseudo-période propre du système amorti. alors l’expression de Y peut se mettre sous la forme: $$\mathit{Y}={\mathit{e}}^{-\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\mathit{t}}.({\mathit{C}}_{1.}\cos {\mathit{\Omega }}_{0.}\mathit{t}$$$$+{\mathit{C}}_{2.}\sin {\mathit{\Omega }}_{0.}\mathit{t})$$

On obtient un mouvement "sinusoïdal amorti".

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© 2015 Philippe MARON