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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

22- Etude d’un système amorti (amortissement visqueux)

221- Vibrations libres

Considérons le cas précédent de la fondation de machine. En appelant Y le déplacement de M par rapport à la position d’équilibre statique, nous avons l’équation du mouvement: $-\mathit{k}.\mathit{Y}-\mathit{b}.\stackrel{•}{\mathit{Y}}=\mathit{M}.\stackrel{••}{\mathit{Y}}$    ,soit :  $\mathit{M}.\stackrel{••}{\mathit{Y}}+\mathit{b}.\stackrel{•}{\mathit{Y}}+\mathit{k}.\mathit{Y}=0$   ou:

$$\stackrel{••}{\mathit{Y}}+\frac{\mathit{b}}{\mathit{M}}.\stackrel{•}{\mathit{Y}}+\frac{\mathit{k}}{\mathit{M}}.\mathit{Y}=0$$

en posant:    $\frac{\mathit{k}}{\mathit{M}}={\mathit{\omega }}_0^2$     et      $\frac{\mathit{b}}{\mathit{M}}=2.\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_0$

nous obtenons: $$\stackrel{••}{\mathit{Y}}+2.\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\stackrel{•}{\mathit{Y}}+{\mathit{\omega }}_0^2.\mathit{Y}=0$$

Cherchons pour $\mathit{Y}$ une solution particulière de la forme:

$\mathit{Y}=\mathit{A}.{\mathit{e}}^{\mathit{\alpha }.\mathit{t}}$   avec    $\mathit{\alpha }\in \mathit{ℝ}$

soit    $\stackrel{•}{\mathit{Y}}=\mathit{\alpha }.\mathit{A}.{\mathit{e}}^{\mathit{\alpha }.\mathit{t}}$    et   $.\stackrel{••}{\mathit{Y}}{=}^{2.}\mathit{A}.{\mathit{e}}^{\mathit{\alpha }.\mathit{t}}$  

par conséquent, l’équation étant satisfaite quel que soit t, on déduit: $${\mathit{\alpha }}^2+2.\mathit{\epsilon }.{\mathit{\omega }}_{0.}\mathit{\alpha }+{\mathit{\omega }}_0^2=0$$

calculons: $\mathit{\Delta }\prime =\mathit{b}{\prime }^2-4.\mathit{a}.\mathit{c}={\mathit{\epsilon }}^{2.}{\mathit{\omega }}_0^2-{\mathit{\omega }}_0^2={\mathit{\omega }}_0^{2.}\left({\mathit{\epsilon }}^2-1\right)$

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© 2015 Philippe MARON