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Oleron Island Chassiron lighthouse

Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

 

12- Expression du torseur dynamique d’un système

121- Résultante dynamique
$$R↖{→}(γ)= ∫_S {γ↖{→}(P).dm}= ∫_S {{d^2{OP}↖{→}}/{dt^2}.dm}= d^2/{dt^2}(∫_S {{OP}↖{→}.dm})= d^2/{dt^2}(M.{OG}↖{→})$$ $$= M.({d{OG}↖{→}}/{dt})=M. γ↖{→}(G)$$ d’où: $$R↖{→}(γ)=M. γ↖{→}(G)$$
122- Moment dynamique
    a- Relation entre $σ↖{→}(A)$ et $δ↖{→}(A)$
  • $$σ↖{→}(A)=∫_S({AP}↖{→}∧V↖{→}(P)).dm$$
  • $$δ↖{→}(A)=∫_S({AP}↖{→}∧γ↖{→}(P)).dm$$

Calculons la dérivée du moment cinétique en A: $$d/{dt}[σ↖{→}(A)]=d/{dt} [∫_S({AP}↖{→}∧V↖{→}(P)).dm]=∫_S [d/{dt}({AP}↖{→}∧V↖{→}(P)).dm]$$

car $dm$ et $dt$ sont indépendants $$∫_S {d{AP}↖{→}}/{dt}∧V↖{→}(P).dm+∫_S {AP}↖{→}∧{d V↖{→}(P))}/{dt}.dm$$

dérivation d'un produit

or $${d{AP}↖{→}}/{dt}={d({AO}↖{→}+{OP}↖{→})}/{dt}= -{d{OA}↖{→}}/{dt}+{d{OP}↖{→}}/{dt}= -V↖{→}(A)+V↖{→}(P)=V↖{→}(P)-V↖{→}(A)$$ $$d/{dt}[σ↖{→}(A)]=∫_S(V↖{→}(P)∧V↖{→}(P)).dm-∫_S V↖{→}(A)∧V↖{→}(P).dm+∫_S {AP}↖{→}∧γ↖{→}(P).dm$$