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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

• Surfaces de révolution

Si Oz est l'axe de révolution, on a: ${\mathit{x}}_{\mathit{G}}={\mathit{y}}_{\mathit{G}}=0$ L'élément de surface $\mathit{d}\mathit{s}$ se trouve entre les plans $\mathit{d}\mathit{z}-\mathit{d}\frac{\mathit{z}}{2}$ et $\mathit{d}\mathit{z}+\mathit{d}\frac{\mathit{z}}{2}$, $\mathit{d}\mathit{z}$ étant petit $\mathit{d}\mathit{s}=2.\mathit{\pi }.\mathit{r}.\mathit{d}\mathit{l}$    soit: $\mathit{S}=\int 2.\mathit{\pi }.\mathit{r}.\mathit{d}\mathit{l}$ d'où:

$\mathit{S}.{\mathit{z}}_{\mathit{G}}=\int \mathit{z}.\mathit{d}\mathit{s}=\int \mathit{z}.2.\mathit{\pi }.\mathit{r}.\mathit{d}\mathit{l}$

car $\mathit{d}\mathit{s}$ et $\mathit{d}\mathit{l}$ étant petit, on peut considérer que P, centre de gravité de $\mathit{d}\mathit{s}$ se trouve en ${\mathit{z}}_{\mathit{P}}=\mathit{z}$

• Volumes de révolution

De même, on aura:

$\mathit{d}\mathit{v}=\mathit{\pi }.{\mathit{r}}^{2.}\mathit{d}\mathit{z}$   soit:$\mathit{V}=\int \mathit{\pi }.{\mathit{r}}^{2.}\mathit{d}\mathit{z}$

d'où:

$\mathit{V}.{\mathit{z}}_{\mathit{G}}=\int \mathit{z}.\mathit{d}\mathit{v}=\int \mathit{z}.\mathit{\pi }.{\mathit{r}}^{2.}\mathit{d}\mathit{z}$

Remarque :

Il est nécessaire de transformer toutes les quantités en fonction de variables indépendantes avant de procéder à l'intégration

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© 2015 Philippe MARON