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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

Surfaces planes définies sous forme polaire On connaît la fonction donnant la limite de la surface $\mathit{\rho }=\mathit{f}\left(\mathit{\theta }\right)$ l'élément $\mathit{d}\mathit{s}$ est assimilé à un triangle de base $\mathit{\rho }.\mathit{d}\mathit{\theta }$, de hauteur $\mathit{\rho }$. On en déduit l'expression de $\mathit{d}\mathit{s}$ : $\mathit{d}\mathit{s}=\frac{1}{2}.{\mathit{\rho }}^{2.}\mathit{d}\mathit{\theta }$ et donc $$\mathit{S}=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathit{\theta }}_1}^{{\mathit{\theta }}_2}{\mathit{\rho }}^{2.}\mathit{d}\mathit{\theta }$$

P est le centre de gravité de $\mathit{d}\mathit{s}$

$\mathit{P}\{\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{\mathit{P}}=\frac{2}{3.}\mathit{\rho }.\cos \mathit{\theta }\\ {\mathit{y}}_{\mathit{P}}=\frac{2}{3.}\mathit{\rho }.\sin \mathit{\theta }\end{array}$

d'où:

$$\mathit{S}.{\mathit{x}}_{\mathit{G}}={\int }_{{\mathit{\theta }}_1}^{{\mathit{\theta }}_2}{\mathit{x}}_{\mathit{P}}.\mathit{d}\mathit{s}=\frac{1}{3}.{\int }_{{\mathit{\theta }}_1}^{{\mathit{\theta }}_2}{\mathit{\rho }}^3\left(\mathit{\theta }\right).\cos \mathit{\theta }.\mathit{d}\mathit{\theta }$$

$$\mathit{S}.{\mathit{y}}_{\mathit{G}}={\int }_{{\mathit{\theta }}_1}^{{\mathit{\theta }}_2}{\mathit{y}}_{\mathit{P}}.\mathit{d}\mathit{s}=\frac{1}{3}.{\int }_{{\mathit{\theta }}_1}^{{\mathit{\theta }}_2}{\mathit{\rho }}^3\left(\mathit{\theta }\right).\sin \mathit{\theta }.\mathit{d}\mathit{\theta }$$

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© 2015 Philippe MARON