Ph. MARON - Cours de dynamique

Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

d’où:
$-dEp=dEc$
On en déduit le principe de conservation de l'énergie (mécanique):
$Ep+Ec = cste$
332- Exemple

Reprenons l’exemple du disque qui roule sur un plan incliné avec l’hypothèse du roulement sans glissement, soit: $x↖{•}+R.θ↖{•} =0$

Dans ce cas, les hypothèses du théorème de conservation de l’énergie sont vérifiées. On peut montrer que le travail des forces de contact est nul.
$Ec= 1/2 .M.x↖{•}^2 + 1/2 .C.θ↖{•}^2=1/2 .M.x↖{•}^2 + 1/2 .{M.R^2} .θ↖{•}^2= 3/4 .M.x↖{•}^2$ $Ep =-M.g.z_G+cste=-M.g.x.\sin α+cste$
En utilisant $Ep+Ec=cste$ , on obtient:
$3/4 .M.x↖{•}^2 -M.g.x.\sin α = cste$
En dérivant par rapport au temps, on obtient: $3/2 .M.x↖{•}.x↖{••} -M.g.x↖{•}.\sin α = 0$
soit si $x↖{•} ≠ 0$ : $x↖{••} = 2/3 .g.\sin α$
Remarques:

Dans le cas du roulement avec glissement, le travail des forces de frottement est inconnu, on ne peut donc pas calculer l’énergie potentielle. Le principe de conservation de l’énergie (mécanique) ne s’applique pas.

Le principe de conservation de l’énergie mécanique découle du principe fondamental de la dynamique et donc, il n’apporte pas une nouvelle équation supplémentaire. Par contre il permet d’obtenir directement une équation régissant le mouvement du système étudié, sans s’occuper des efforts appliqués au système.

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332- Exemple