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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron
En utilisant les propriétés d'associativité vectorielle et l'invariance de $Ω↖{→}_s$ et $V↖{→}(G)$ par rapport à l'élément d'intégration $dm$ , on peut écrire: $$Ec= 1/2.∫_s V↖{→}(P)^2 dm$$ $$= 1/2. {V↖{→}(G)^2 .∫_s dm +2.V↖{→}(G).(Ω↖{→}_s∧∫_s {GP}↖{→}dm) + Ω↖{→}_s.∫_s[{GP}↖{→}∧(Ω↖{→}_s∧{GP}↖{→})]dm}$$
On a de plus:
- $$ ∫_s dm=M $$
- par définition du centre de gravité G du solide (S) $$∫_s {GP}↖{→}.dm=0↖{→}$$
- suivant le calcul du terme (4) effectué au paragraphe 122-b $$∫_s[{GP}↖{→}∧(Ω↖{→}_s∧{GP}↖{→})]dm= I_{(G,(S), b)}.Ω↖{→}_s=σ↖{→}(G)$$
D'où, en définitive:
$$Ec = 1/2 .M. V↖{→}(G)^2 +1/2 .Ω↖{→}_s .σ↖{→}(G)$$
- $ 1/2 .M. V↖{→}(G)^2 $ correspond à l'énergie cinétique du solide en concentrant toute sa masse au centre d'inertie G, se déplaçant comme un point matériel par une translation rectiligne ou circulaire: c'est l'énergie cinétique de translation.
- $1/2 .Ω↖{→}_s .σ↖{→}(G)$ correspond à l'énergie cinétique qu'on obtiendrait si G était fixe. On peut aussi dire que c'est l'énergie cinétique du à la rotation autour du point G: c'est l'énergie cinétique de rotation.
Remarques :
- Si on a un mouvement autour d'un point fixe O on obtient: $Ec = 1/2 .Ω↖{→}_s .σ↖{→}(O)$
- Si on a un mouvement de rotation autour d'un axe fixe passant par O; Oz par exemple: $Ec = 1/2 .I_{Oz}.ω^2 $ avec $ω$ vitesse de rotation autour de l'axe Oz ( $Ω↖{→}_s=ω.z↖{→}$)