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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron

Soit P’ la projection orthogonale du point P sur l’axe Δ

P’P est la distance de P à l’axe Δ d’où: $${\mathit{I}}_{\mathit{\Delta }}={\int }_{\mathit{S}}{\overline{\mathit{P}\prime \mathit{P}}}^2.\mathit{d}\mathit{m}$$ $\overline{\mathit{P}\prime \mathit{P}}=\parallel \overrightarrow{\mathit{u}}\wedge \overrightarrow{\mathit{O}\mathit{P}}\parallel$ or $\overrightarrow{\mathit{u}}\wedge \mathit{O}\mathit{P}=\mid \begin{array}{c}\mathit{\alpha }\\ \mathit{\beta }\\ \mathit{\gamma }\end{array}\wedge \mid \begin{array}{c}\mathit{x}\\ \mathit{y}\\ \mathit{z}\end{array}=\mid \begin{array}{c}\mathit{\beta }.\mathit{z}-\mathit{\gamma }.\mathit{y}\\ \mathit{\gamma }.\mathit{x}-\mathit{\alpha }.\mathit{z}\\ \mathit{\alpha }.\mathit{y}-\mathit{\beta }.\mathit{x}\end{array}$

or :

${\overline{\mathit{P}\prime \mathit{P}}}^2={\mathit{\alpha }}^{2.}\left({\mathit{y}}^2+{\mathit{z}}^2\right)+{\mathit{\beta }}^{2.}\left({\mathit{x}}^{2.}{\mathit{z}}^2\right)+{\mathit{\gamma }}^{2.}\left({\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2\right)-2.\mathit{\beta }.\mathit{\gamma }.\mathit{y}\mathit{z}-2.\mathit{\alpha }.\mathit{\gamma }.\mathit{x}.\mathit{z}-2\mathit{\alpha }.\mathit{\beta }.\mathit{x}.\mathit{y}$

On obtient finalement:

${\mathit{I}}_{\mathit{\Delta }}=\left[{\overrightarrow{\mathit{u}}}^{\mathit{t}}\right].\left[{\mathit{I}}_{\left(\mathit{O},\mathit{S},\mathit{b}\right)}\right].\left[\overrightarrow{\mathit{u}}\right]$

Ou sous forme matricielle:

${\mathit{I}}_{\mathit{\Delta }}={\mathit{\alpha }}^{2.}\mathit{A}+{\mathit{\beta }}^{2.}\mathit{B}+{\mathit{\gamma }}^{2.}\mathit{C}-2.\mathit{\beta }.\mathit{\gamma }.\mathit{D}-2.\mathit{\alpha }.\mathit{\gamma }.\mathit{E}-2\mathit{\alpha }.\mathit{\beta }.\mathit{F}$

Remarques :

• On appelle axes principaux d’inertie, les axes pour lesquels les produits d’inertie sont nuls
• Dans le cas des surfaces planes, deux des produits d’inertie sont nuls. (ex: surface dans le plan Oxy: pour tous points P de la surface, z = 0 d’où D = E = 0)
• Dans le cas des solides de révolution, les axes perpendiculaires à l’axe de révolution jouent le même rôle. (ex volume de révolution autour de Oz: ${\mathit{I}}_{\mathit{O}\mathit{x}}={\mathit{I}}_{\mathit{O}\mathit{y}}$ et ${\mathit{I}}_{\mathit{x}\mathit{O}\mathit{z}}={\mathit{I}}_{\mathit{y}\mathit{O}\mathit{z}}$. D’après les relations vues précédemment, on en déduit que A = B = C/2)

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© 2015 Philippe MARON