Cours de Mécanique - Rappels Mathématiques

L'objectif de ce chapitre est de rappeler succintement les notions mathématiques nécessaires à la compréhension de la suite de ce cours.

Chap .1: RAPPELS DE CALCULS

1- VECTEURS
2- OPERATIONS SUR LES VECTEURS
	21- Produit Scalaire
	22- Produit Vectoriel
	23- Produit Mixte
3- NOTIONS SUR LES TORSEURS
	31- Définition
	32- Application des torseurs à la représentation d'un champ de force
4- CHANGEMENTS DE BASES
	41- Projection des vecteurs de bases
	42- Changements de bases d'un vecteur quelconque
5- RELATIONS DE TRIGONOMETRIE

1- VECTEURS

On associe à l'espace ponctuel euclidien à trois dimensions E, l'espace vectoriel à trois dimensions E sur le corps des réels R:

· E³ ® E³

· (A,B,C) ®

On associe au couple ordonnée de points (A,B) de E² un élément définissant un vecteur libre

2- OPERATIONS SUR LES VECTEURS

21- Produit Scalaire

· E® R

· ®

Dans une base , si et , alors on aura

Remarque:

· Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.

· Propriétés:

· Commutativité:

· Distributivité à droite et à gauche: et

· Multiplication par un réel:

· Normes:

· Calcul pratique d'un produit scalaire:

^{^{si on définit l'angle ,

alors}}

· Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:

22- Produit Vectoriel

· E² ® E

· ®

Dans une base , si et , alors on aura

· Méthode de calcul:

Calcul à effectuer:

Première composante: On barre la première ligne et on calcule le déterminant 2*2 restant:

Deuxième composante: On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant 2*2 restant:

Troisième composante: On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant 2*2 restant:

Remarque:

· Le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux vecteurs .

· Propriétés:

· Anticommutativité:

· Distributivité à droite et à gauche: et

· Multiplication par un réel:

· Calcul pratique du produit vectoriel:

^{^{si

on définit l'angle , alors}}^{^{,

et}}^{^{forme un trièdre direct,

quelque soit le point O.}}

· Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:

, ,

23- Produit Mixte

· E³ ® R

· ®

Remarque:

· Le résultat du produit mixte de trois vecteurs est un SCALAIRE.

· Propriétés:

· si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.

3- NOTIONS SUR LES TORSEURS

31- Définition

Un torseur est un champ de vecteurs, antisymétrique de E. Un torseur en un point est défini par:

· Un vecteur libre appelé Résultante du torseur

· Un vecteur dépendant du point A ou il est exprimé appelé Moment du torseur en A et vérifiant:

Remarque:

· La résultante du torseur est indépendante du point où est défini un torseur.

32- Application des torseurs à la représentation d'un champ de force

Soit un champ de force défini dans l'espace à trois dimensions de base orthonormée directe par la donnée de la force appliquée en un point :

Le moment de la force en son point d'application est nul d'où: .Si on veut calculer le moment de la force au point , on obtient (intensité de la force multiplié par le bras de levier , sens négatif).

En appliquant la notion de torseur, on peut définir le torseur force au point A, associé à par:

· la résultante du torseur force égale à la force

· le moment en du torseur force égal à

Le moment au point est défini par la formule de transport donnée plus haut soit:

ou:

Remarques:

· La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment en tout point de l'espace.

· Les deux vecteurs définis dans un torseur sont de natures différentes. Pour un torseur de force, le vecteur résultant est une force ayant des composantes dont les unités sont des (N), alors que le moment en un point est un moment dont les composantes ont des unités en (N.m).

· Attention quand l'on demande de définir un torseur , il est nécessaire de donner une réponse pour la résultante et une réponse pour le moment.

4- CHANGEMENTS DE BASES

Soient deux bases orthonormées directes et et telles que