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Phare de Chassiron sur l'île d'Oléron
Construisons l'hodographe, lieu des points M et M' tels que ${OM}↖{→}={V}↖{→}(P)$, O étant un point fixe
- Accélération moyenne de P à P': ${γ}↖{→}_{moy}={{MM'}↖{→}}/{Δt} = {ΔM}↖{→}/{Δt}$
- Accélération instantanée de P: ${γ}↖{→}(P)={dM}↖{→}/{dt}={d^2 P}↖{→}/{dt^2}$
32- Expressions analytiques de la vitesse et de l'accélération d'un point
321- Coordonnées cartésiennes
- ${OP}↖{→}=x(t).i↖{→}+y(t).j↖{→}+z(t).k↖{→}$
- ${V}↖{→}(P)= {dx(t)}/dt .i↖{→}+ {dy(t)}/dt .j↖{→}+ {dz(t)}/dt .k↖{→}$
$⇒$ ${V}↖{→}(P)= x↖{•}(t) .i↖{→}+ y↖{•}(t) .j↖{→}+ z↖{•}(t) .k↖{→}$ $⇒$ ${V}↖{→}(P)= x↖{•} .i↖{→}+ y↖{•} .j↖{→}+ z↖{•} .k↖{→}$
- ${γ}↖{→}(P)= x↖{••} .i↖{→}+ y↖{••} .j↖{→}+ z↖{••} .k↖{→}$
322- Application à la dérivation d'un vecteur mobile
Soit le point P tel que ${OP}↖{→}={u}↖{→}$ avec ${u}↖{→}=\cos θ(t).i↖{→}+\sinθ(t).j↖{→}$
${V}↖{→}(P)= {d{OP}↖{→}}/{dt} ={d{u}↖{→}}/{dt}={d\cos θ(t)}/{dt} .i↖{→}+{d\sinθ(t)}/{dt} .j↖{→}=-θ↖{•}(t).\sin θ(t).i↖{→}+θ↖{•}(t)\cos θ(t).j↖{→}$
${V}↖{→}(P)=-θ↖{•}.\sin θ.i↖{→}+θ↖{•}\cos θ.j↖{→}=θ↖{•}.(-\sin θ.i↖{→}+\cos θ.j↖{→})=θ↖{•}.v↖{→}$
soit:
${d{u}↖{→}}/{dt}=θ↖{•}.v↖{→}$
