· Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation

· Dans l'espace: 6 paramètres; trois paramètres pour préciser la position d'un point particulier P du solide (paramètres de translation et 3 parametres fixant la position d'un point quelconque M par rapport à ce point P (en général paramètres de rotation). Ces paramètres sont appelés angles d'EULER: précession, nutation, rotation propre.

 

 

· Dans le cas d'un solide ayant un point fixe, 3 paramètres suffisent.

 

 

 

 

2- NOTIONS DE MOUVEMENT ET DE REPOS - REPERES ABSOLU ET RELATIF - REPERES DE REFERENCES ET DE PROJECTION

Un point P est dit en mouvement par rapport à un repère si au moins une de ses coordonnées varie en fonction du temps. Si toutes ses coordonnées restent constantes, on dit qu'il est au repos par rapport à ce repère.

Cette notion est relative: un voyageur assis dans un train est en mouvement par rapport à un repère lié à la terre et est au repos par rapport à un repère lié au train.

Dans la suite de ce cours, nous appellerons (T₀) le repère absolu ou de référence et (T₁) le repère mobile. Les bases associées à ces repères seront toujours orthonormées directes.

On appelle mouvement d'entraînement le mouvement permettant de passer de (T₀) à (T₁).

Examinons maintenant la différence entre repère de référence et repère de projection.

Pour cela, considérons l'exemple d'un mouvement circulaire uniforme (w constante).

Dans ce cas, on sait que la vitesse est tangente au cercle et que son module est R.w . Le repère de référence est (T₀) et R. w représente la vitesse par rapport à ce repère. On peut exprimer les composantes du vecteur vitesse dans (T₀), mais il est plus facile de les exprimer dans le repère mobile (T₁), en effet on a simplement .

On a alors exprimé la vitesse du point P par rapport à (T₀) en exprimant ses composantes dans un autre repère (T₁). (T₀) est le repère de référence tandis que (T₁) est le repère de projection.

 

21- Mouvement d'entraînement de translation

 

(T₁) se déduit de (T₀) par une translation de vecteur :

 

 

 

22- Mouvement d'entraînement de translation circulaire

Le sommet du repère mobile (T₁) se déplace sur un cercle, mais ses vecteurs restent équipollents à ceux de (T₀) .

 

 

 

23- Mouvement d'entraînement de rotation

Le sommet du repère mobile (T₁) se déplace sur un cercle, et ses vecteurs suivent le mouvement de rotation .

 

 

 

3- CINEMATIQUE DU POINT

31- Définitions générales

311- Trajectoire:

On appelle trajectoire d'un point le lieu de ce point P dans un repère donné. La trajectoire dépend du repère choisi.

 

Exemple: trajectoire d'une goutte de pluie vue d'un repère mobile (véhicule en mouvement)

 

 

 

 

312- Vitesses et accélérations d'un point:

· Vitesse moyenne de P à P':

 

· Vitesse instantanée de P:

Si alors avec le vecteur unitaire tangent à la trajectoire (S)

Construisons l'hodographe, lieu des points M et M' tels que , O étant un point fixe

· Accélération moyenne de P à P':

 

· Accélération instantanée de P:

 

32- Expressions analytiques de la vitesse et de l'accélération d'un point

321- Coordonnées cartésiennes

·

·

·

 

322- Application à la dérivation d'un vecteur mobile

Soit le point P tel que avec

soit:

 

Remarques: · et appartiennent au plan (Ox0y0). Par conséquent, on peut écrire est le résultat du produit vectoriel d'un vecteur , perpendiculaire au plan (Ox0y0), et du vecteur . C'est à dire: En identifiant, on en déduit: · Ce vecteur est appelé vecteur rotation et est tel que: - son axe est perpendiculaire au plan où se produit la rotation - son module est égal à la vitesse angulaire · De la même façon, on obtient:

323- Coordonnées cylindriques

·

·

·

 

· Cas particulier du mouvement hélicoïdal

¨ d'où on en déduit

¨ , h étant le pas de l'hélice.

, le vecteur vitesse forme un angle constant avec la génératrice du cylindre sur lequel s’enroule l’hélice.

Si , le mouvement est dit hélicoïdal uniforme

· Cas particulier du mouvement plan

¨ d'où on en déduit

· Cas particulier du mouvement circulaire

¨ d'où on en déduit

¨ d'où on en déduit

Si avec w constante, le mouvement est dit circulaire uniforme

 

33- Dissociation des paramètres

Supposons que la position du point P dépende de n paramètres indépendants. Il est possible de bloquer tous les paramètres sauf un, q _i que l'on fait varier en fonction du temps. On obtient alors la vitesse relative au paramètre q _i. En additionnant toutes ces vitesses, on détermine la vitesse du point P.

Exemple d'un point P dont la position est exprimée en coordonnées sphériques: :

· varie, sont bloqués

Le mouvement de P est une translation le long de l'axe . La vitesse de déplacement du point P est donc:

· varie, sont bloqués

Le mouvement du point P est une rotation de centre P' de rayon et de vitesse angulaire , dans le plan . La vitesse de P est donc:

· varie, sont bloqués

Le mouvement du point P est une rotation de centre O de rayon et de vitesse angulaire dans le plan . La vitesse de P est donc:

· globalement la vitesse du point P par rapport à (T₀) sera donc:

4- CINEMATIQUE DU SOLIDE

Soit deux repères:

· T₀ le repère de référence fixe

· T₁ le repère mobile

Appelons les coordonnées d'un point P dans (T₁); la relation vectorielle

peut s'écrire

41- Calcul des vitesses

En dérivant l'expression du vecteur , nous obtenons:

soit:

· Le terme (1) représente la vitesse qu'aurait le point P si ses coordonnées dans (T₁) étaient constantes, c'est à dire si P était fixe par rapport à (T₁). Ce terme représente la vitesse d'entraînement du point P . On la note:.

· Le terme (2) représente la vitesse qu'aurait le point P si les paramètres fixant la position de (T₁) par rapport à (T₀) étaient constants, c'est à dire si (T₁) était fixe par rapport à (T₀). C'est la vitesse du point P par rapport à (T₁) appelée aussi la vitesse relative du point P . On la note:.

Ainsi on obtient la vitesse absolu du point P ou vitesse du point P par rapport à (T₀) par

42- Cas où P est fixe dans (T₁): Transport de vitesses

Si le point P est fixe par rapport au repère (T₁), c'est à dire si le repère (T₁)est lié au mouvement du solide auquel appartient le point P, alors la vitesse relative de P est nulle, d'où on peut écrire:

Or nous pouvons écrire:

est ici le vecteur rotation permettant de passer du repère de référence (T₀) au repère mobile (T₁); on le note également . D'où:

soit:

43- Calcul des accélérations

En dérivant l'expression du vecteur , nous obtenons l'accélération:

soit:

· Le terme (1) représente l'accélération qu'aurait le point P si ses coordonnées dans (T₁) étaient constantes, c'est à dire si P était fixe par rapport à (T₁). Ce terme représente l'accélération d'entraînement du point P . On la note:.

· Le terme (2) représente l'accélération qu'aurait le point P si les paramètres fixant la position de (T₁) par rapport à (T₀) étaient constants, c'est à dire si (T₁) était fixe par rapport à (T₀). C'est l'accélération du point P par rapport à (T₁) appelée aussi l'accélération relative du point P . On la note:.

· Le terme (3) est appelée l'accélération de CORIOLIS et notée:.

Ainsi on obtient l'accélération absolu du point P ou accélération du point P par rapport à (T₀) par

431- Expression vectorielle de l'accélération de CORIOLIS

Or nous pouvons écrire:

est le vecteur rotation permettant de passer du repère de référence (T₀) au repère mobile (T₁), on peut dire que c'est le vecteur rotation d'entrainement, noté

soit:

432- Cas où l'accélération de CORIOLIS est nulle

L'accélération de CORIOLIS est nulle si le produit est nul, ce qui se produit pour:

· : Le mouvement d'entraînement est une translation

· : Le point P est fixe dans le repère (T₁)

· et sont colinéaires: cas très rare

44- Vitesse de glissement - Condition de roulement sans glissement

Considérons deux solides (S₁) et (S₂) en contact à un instant donné.

Appelons I₁ et I₂ les points de (S₁) et (S₂) en contact à cet instant. On définit la vitesse de glissement du solide (S₁) par rapport le solide (S₂) par:

Si la condition de roulement sans glissement est réalisée, cette vitesse est nulle soit:

Mis à jour le: 11/02/04