EXERCICES DE VIBRATIONS

EXERCICE 8-1:

On suppose un système mécanique constitué d'une tige OA de masse négligeable, de longueur L articulée au point O; au bout A de la tige se trouve fixée une masse m. Un ressort de raideur K est fixée à la masse m. Quand la tige-masse est en position verticale, le ressort est au repos. La position de la tige-masse est repérée par l'angle q qu'elle fait avec la verticale.

Ce système est supposé conservatif,

1) Montrez que les expressions des énergies cinétique et potentielle du système sont et

2) En supposant que la rotation q est petite, montrez que l'équation du mouvement de la tige-masse peut s'écrire:

3) Déterminez la pulsation propre w₀ du système.

4) Déterminez la réponse q_L(t) du système en vibrations libres.

5) On applique une force F₀.sinwt horizontale à la masse m. Déterminez la réponse q_F(t) du système en vibrations forcés.

6) Discutez du résultat en fonction des valeurs de w.

EXERCICE 8-2:

Soit un demi-disque (D) de centre C de masse M, de rayon R, et d'axe de révolution .

Soit T₀ le repère de référence fixe et T₁ le repère mobile lié à (D).

1è Partie

1) Calculez la surface de (D)

2) Précisez la position du centre de gravité G de (D), On notera a.R la distance CG.

3) Calculez la matrice d'inertie de (D) au point C dans b₁. Montrez que les termes E et F sont nuls.

4) En déduire la matrice d'inertie de (D) au point G dans b₁.

On notera:

2è Partie

Le demi-disque de (D) repose sur un plan horizontal (P) fixe.

Les paramètres de position du disque (D) sont: et

5) En admettant l'hypothèse de roulement sans glissement en I, trouvez la relation entre y et q.

6) En tenant compte de la relation entre y et q , calculez la vitesse absolue du point G exprimée dans la base b₁.

7) Calculez en fonction de q , l'énergie cinétique du disque (D)

8) Calculez en fonction de q , l'énergie potentielle du disque (D)

9) Ecrire l'équation de conservation de l'énergie

10) En déduire l'équation du mouvement en q, on supposera que les valeurs de q restent petites.

3è Partie

On se propose de retrouver le résultat précédent en utilisant le principe fondamental de la dynamique:

11) Isolez le disque (D) et exprimez le torseur résultant des actions extérieures au point G.

12) Calculez au point G le torseur cinétique et le torseur dynamique du solide (D).

13) Ecrire les équations résultant du principe fondamental de la d ynamique.

Mis à jour le: 11/02/04