Chap.
8: MECANIQUE VIBRATOIRE
D’UN SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE
1-
VIBRATIONS LIBRES NON AMORTIES D’UN SYSTEME A UN DEGRE DE
LIBERTE
Considérons un ensemble socle et machine de masse M, reposant sur un ressort élastique linéaire de raideur k, la surface du sol étant supposée infiniment rigide.
Appelons y le déplacement absolu du solide M.
L’application du principe fondamental de la dynamique au système permet d’écrire
soit:
 |
Cette relation peut également être établie à partir du principe de conservation de l’énergie.
12-
Résolution de l’équation de mouvement
Posons: 
, le terme 
représentant le déplacement "statique" du solide M
Par conséquent: 
D’où: 
Soit: 
ou:
 |
avec 
La solution générale de l’équation ci dessus est donnée par:
ou 
avec 
et 
d’où la solution de l’équation peut s’écrire:
 |
| Remarques: · · · · · |
Lorsqu’on étudie les
vibrations libres d’un système, il est surtout important de
connaître la pulsation propre 
du phénomène. Cette valeur ne faisant
pas intervenir le déplacement statique, tout revient donc à
dire que pour obtenir l’équation différentielle 
on néglige
l’action de la pesanteur, 
représentant toujours le déplacement
relatif par rapport à la position d’équilibre statique
13-
Ressorts en parallèle ou en série
Souvent, pour éviter les problèmes de résonance, on déplace les fréquences propres d’un système et on est appelé à associer des ressorts de raideurs différentes.
Pour le système réel, on a: 
Pour le système équivalent: 
On en déduit:
 |
Pour le système réel, on a: 
Pour le système équivalent:
Or: 
soit: 
On en déduit:
 |
141- Méthode statique: utilisation de la
loi de HOOKE
k est égale à la pente de la
droite 
142- Méthode dynamique (méthode des
surcharges)
par conséquent: 
ce qui permet de déduire la valeur de k
2-
ETUDE DE L’AMORTISSEMENT - ISOLATION VIBRATOIRE
Dans la réalité, les vibrations libres étudiées précédemment n’existent pas car il y a toujours amortissement au cours du temps et l’amplitude des oscillations diminue avec le temps. Ces forces d’amortissement s’opposent au mouvement et sont donc de signes opposées aux vitesses.
211- Amortissement visqueux dû à la
résistance fluide
Dans ce cas la force d’amortissement a pour expression:
b est appelé coefficient d’amortissement visqueux. et a pour dimension MT-1
Ce type d’amortissement se produit à des vitesses faibles pour des surfaces glissantes lubrifiées (amortisseur hydraulique)
212- Amortissement non visqueux dû à la
résistance fluide
Pour des vitesses de déplacements comprises entre 2 et 200 m/s, la force d’amortissement est proportionnelle au carré de la vitesse c’est à dire:
Ceci correspond à un régime hydraulique
213- Amortissement par frottement sec ou
frottement de COULOMB
Ce type d’amortissement se produit lors d’un glissement sur des surfaces non lubrifiées. Durant le mouvement la force d’amortissement est donnée par la loi de COULOMB:
où N est la composante normale de l’action de contact et f le coefficient de frottement sec
22-
Etude d’un système amorti (amortissement visqueux)
Considérons le cas précédent de la fondation de machine. en appelant Y le déplacement de M par rapport à la position d’équilibre statique, nous avons l’équation du mouvement:
soit 
ou
en posant: 
et 
nous obtenons:
 |
· Cherchons pour Y une solution particulière de la forme:
, 
,
soit 
et 
par conséquent, l’équation étant satisfaite quel que soit t, on déduit:
 |
calculons: 
a) 
(amortissement
élevé)
soit: 
et 
et 
 |
Le mouvement est dit "apériodique"
b) 
(amortissement
critique)
Dans ce cas, on montre que:
 |
et que les allures des courbes de Y en fonction du temps sont identiques à celles obtenues pour un mouvement apériodique
c) 
(amortissement faible)
est appelé la pseudo-période propre du
système amorti. alors l’expression de Y peut se mettre sous
la forme:
 |
On obtient un mouvement "sinusoïdal amorti".
application: détermination de 
quand est faible:
d’où
si est
supposé faible, on a 
 |
222- Vibrations forcées dans le cas
d’un machine déséquilibrée par un balourd
Ce système "excitateur à balourd" est principalement constitué par un rotor muni d’une surcharge et tournant à vitesse constante. Nous supposerons le moteur monté sur un socle pouvant seulement avoir un mouvement de translation verticale.
Le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire l’équation du mouvement
soit:
 |
En choisissant 
lorsque le
ressort s’allonge, nous obtenons de même:
ou avec 
et 
 |
a- Calcul du déplacement forcé par la méthode de FRESNEL
Cherchons Y sous la forme 
soit 
Par conséquent, nous obtenons 
soit 
ou en posant 
 |
 |
On appelle facteur 
d’amplification le rapport 
soit
 |
b- Variation de A
Par dérivation, nous obtenons
Cette expression s’annule pour :
· 
· 
ce qui se produit seulement pour 
soit pour 
Si 
alors 
pour 
(résonance
d’amplitude)
Si
l’amortissement e est supérieur à 
, 
est
toujours croissante. Ceci se vérifie sur les courbes de
variations de en fonction de 
et e . (Visualiser les courbes A = f(r) )
c- Force transmise au sol
Le critère d’efficacité
d’une isolation vibratoire est défini par le rapport entre
la force maximale transmise et la force excitatrice maximale. Ce
rapport est appelé 
coefficient de transmissibilité.
La force transmise au sol a pour expression:
En ne considérant que l’amplitude des vibrations forcées, nous avons
En cherchant 
sous la
forme 
il est possible d’établir un
diagramme de FRESNEL correspondant
Nous déduisons donc:
 |
et 
d’où :
or 
et 
d’où:
 |
On en déduit le rapport de transmissibilité
 |
Etudions les variations de A1:
pour :
· 
· 
Le
graphe nous montre que l’amortissement réduit le
coefficient de transmissibilité pour 
et
l’amplifie pour.
. Pour des vibrations à fréquence 
élevée,
il est donc nécessaire d’utiliser des amortissements à
très faible coefficient. Par contre pour des pulsations telles
que 
on
utilisera des amortisseurs à coefficient élevé. Visualiser les
courbes A1=f(r)
23-
Matériaux d’isolation vibratoire
Les matériaux les plus couramment utilisés pour l’isolation des vibrations mécaniques sont le caoutchouc, le liège et le feutre. Les ressorts métalliques sont également employés. L'efficacité de chaque type dépend toujours des conditions particulières d’emploi.
- Les ressorts métalliques hélicoïdaux ont l’avantage d’être peu sensible aux états ambiants (température, graisse,...). Les inconvénients viennent de leur faible capacité d’amortissement et de leur facilité à transmettre les bruits. On peut remédier à cela en les posant sur du caoutchouc ou du feutre.
- Les supports caoutchouc sont utilisé généralement pour l’isolation des machines légères. Le caoutchouc a de bonnes propriétés d’amortissement mais elles varient en fonction de la charge, de la température et des conditions ambiantes.
- Le liège est surtout employé pour l’isolation acoustique mais donne également de bons résultats pour l’isolation mécanique de machines légères. Ses caractéristiques élevées d’amortissement ne sont pas affectée par des contacts d’huiles ou d’eaux et les variations faibles de températures. Par contre, il n’est pas parfaitement élastique.
- Le feutre permet d’éviter la transmission des vibrations hautes fréquences.
Mis à jour le: 11/02/04
1- VIBRATIONS LIBRES NON AMORTIES D’UN SYSTEME
A UN DEGRE DE LIBERTE
11- Equation du mouvement 
131- Ressorts en parallèle 
est appelée la pulsation propre du
système (rad/s)
est appelée la période propre du
système (s)
est appelée la fréquence propre
du système (Hz)
est appelée le déplacement
relatif de M (déplacement par rapport à la position
d’équilibre statique)
est l’amplitude du
déplacement relatif
