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Aix Island lighthouse

Phare de l'île d'Aix

 

5- CHANGEMENT DE BASE

51- Projection des vecteurs de bases

Soient deux bases orthonormées directes $b_0:(i↖{→}_0 ,j↖{→}_0,k↖{→}_0)$ et $b_1:(i↖{→}_1 ,j↖{→}_1,k↖{→}_1)$ et telles que $k↖{→}_0 = k↖{→}_1$ et $θ = (i↖{→}_0 ,i↖{→}_1) =(j↖{→}_0 ,j↖{→}_1)$.

Si on exprime les vecteurs de la base $b_1$ dans la base $b_0$, on obtient :

  • $i↖{→}_1 = \cos θ.i↖{→}_0+\sin θ.j↖{→}_0$
  • $j↖{→}_1 = -\sin θ.i↖{→}_0+\cos θ.j↖{→}_0$
  • $k↖{→}_1 =k↖{→}_0$

Conseil : Dessiner toujours un angle $θ$ petit de façon à faire la différence entre le cosinus représenté par la "grande longueur" et le sinus par la "petite longueur".

De même, si on exprime les vecteurs de la base $b_0$ dans la base $b_1$, on obtient :

  • $i↖{→}_0 = \cos θ.i↖{→}_1-\sin θ.j↖{→}_1$
  • $j↖{→}_0 = \sin θ.i↖{→}_1+\cos θ.j↖{→}_1$
  • $k↖{→}_0 =k↖{→}_1$

52- Changement de base d'un vecteur quelconque

Soit un vecteur $U↖{→}(a,b,c)_b_1 $. L'expression de $U↖{→}$ dans la base $b_0$ sera : $U↖{→}=a.i↖{→}_1 +b.j↖{→}_1+c.k↖{→}_1 $ $= (a.\cos θ+b.(-\sin θ)).i↖{→}_0+(a.\sin θ+b.\cos θ).j↖{→}_0) +c.k↖{→}_0$

Soit : $U↖{→}(a.\cos θ-b.\sin θ,a.\sin θ+b.\cos θ,c)_b_0 $