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Aix Island lighthouse

Phare de l'île d'Aix

 

3- OPERATIONS SUR LES VECTEURS

31- Produit Scalaire

$ \table E^2 → ℝ ; ( X↖{→}, Y↖{→})→ X↖{→}. Y↖{→} = a $

Dans une base $( i↖{→}, j↖{→},k↖{→})$, si $ X↖{→}=x_1 .i↖{→} + x_2 . j↖{→} + x_3 .k↖{→}$ et $ Y↖{→}=y_1 .i↖{→} + y_2 . j↖{→} + y_3 . k↖{→} $ alors $X↖{→}. Y↖{→} =x_1 .y_1 +x_2 .y_2 +x_3 . y_3 $

Remarque :

Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.

Propriétés :

  • Commutativité : $ X↖{→}.Y↖{→} = Y↖{→}. X↖{→} $
  • Distributivité à droite et à gauche :
    • $ X↖{→}.(Y↖{→}+Z↖{→}) = X↖{→}.Y↖{→}+X↖{→}.Z↖{→} $
    • $ (X↖{→}+Y↖{→}).Z↖{→} = X↖{→}.Z↖{→}+Y↖{→}.Z↖{→} $
  • Multiplication par un réel : $ (λ.X↖{→}).Y↖{→}=X↖{→}.(λ.Y↖{→})=λ.(X↖{→}.Y↖{→})$
  • Normes:$ ∥X↖{→} ∥=√{x_1^2+x_2^2+x_3^2} $

Calcul pratique d'un produit scalaire :

si on définit l'angle $θ=(X↖{→},Y↖{→})$ alors $ X↖{→}.Y↖{→}=∥X↖{→} ∥.∥Y↖{→} ∥.\cos(θ)$